. ⁡ 54 p γ {\displaystyle {\mathcal {R'}}} r Les transformations de Lorentz sont, en supposant la vitesse parallèle à l'axe (ox) et en posant . 0 . )   β C'est l'invariance de cette norme qui permet de parler du quadrivecteur d'une particule indépendamment de tout système de coordonnées. {\displaystyle {\vec {E}}} ≠ 2 2 → 0 | {\displaystyle {\mathcal {R}}} Ce résultat apparaît en utilisant l'identité différentielle de Bianchi pour obtenir : ce qui, en utilisant l'équation d'Einstein, donne : qui exprime la conservation locale du tenseur énergie-impulsion. sont connus et restent inchangés au cours du temps, dans ce référentiel. {\displaystyle \alpha =0{,}973+0{,}973=1{,}946} . {\displaystyle q{\vec {E}}\,. . ` 2 α → 2 + expression dans laquelle nous avons introduit le facteur c pour travailler avec des coordonnées homogènes. − Remarquons toutefois que le temps et l'espace restent de natures différentes et qu'on ne peut donc pas assimiler l'un à l'autre. ′ c   0 0 Les hypothèses d'Einstein conduisent aux transformations dites « de Lorentz ». Cinématique relativiste. Avant de déterminer les équations d'Einstein, reprenons quelques commentaires de T. Damour à propos dela relativité générale : On peut résumer la théorie de la relativité générale, ou théorie de la gravitationd'Einstein, en une phrase : l'Espace-Temps est une structure élastique qui est déformée par laprésence en son sein de Masse-Énergie. − ′ − / v C’est la conservation locale de l’énergie en relativité restreinte ! t p e et un champ magnétique . c En 1905, dans son article intitulé De l'électrodynamique des corps en mouvement[6],[7], Albert Einstein présenta la relativité comme suit : Les équations de Lorentz qui en découlent sont conformes à la réalité physique. Le comité attendit donc une confirmation expérimentale. c En relativité restreinte une longueur et un temps devraient se mesurer avec la même unité (ce que nous n'avons pas fait ici de façon systématique). {\displaystyle \ E_{1}^{2}-E_{2}^{2}=m_{1}^{2}.c^{4}-m_{2}^{2}.c^{4}} [...] je n'ai pas indiqué la transformation qui convient le mieux. Δ car {\displaystyle {\mathcal {R'}}} Cette caractéristique de non-linéarité distingue la relativité générale de l'ensemble des autres théories physiques. Le signe de l'invariant d'espace-temps Δs2 permet de classer deux événements l'un par rapport à l'autre, imagé par le cône de lumière, ce classement a un caractère absolu et correspond à leur possibilité ou non d'être liés par un lien causal. On va commencer par la relativité restreinte, qui est (beaucoup) plus simple. Forme mathématique de l'équation de champ d'Einstein, Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker, Manuels de cours d'enseignement supérieur, on n'aboutit qu'à 6 Ã©quations indépendantes, En conséquence, l'équation est aussi connue comme l', General relativity : an introduction for physicists, Notice dans un dictionnaire ou une encyclopédie généraliste, Srpskohrvatski / српскохрватски, métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker, ministère de la Culture et de la Communication, Centre national de la recherche scientifique, université de Jijel – Mohamed Seddik Benyahia, Mathématiques de la relativité générale, Introduction à la relativité générale, Équation de Hamilton–Jacobi–Einstein, Controverse sur la paternité de la relativité, Critiques de la théorie de la relativité, Tests expérimentaux de la relativité générale, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Équation_d%27Einstein&oldid=176734455, Article de Wikipédia avec notice d'autorité, Page utilisant le modèle Autorité avec un paramètre local, Page pointant vers des dictionnaires ou encyclopédies généralistes, Article contenant un appel à traduction en anglais, Portail:Sciences de la Terre et de l'Univers/Articles liés, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence. {\displaystyle {\mathcal {R'}}} x {\displaystyle \ E_{2}} et   Re : Relativité restreinte: l'équation de transformation du temps J'ai fait un peu de calculs depuis tout-à-l'heure et j'y suis presque, voici à quoi j'arrive: Je prends l'exemple d'un vaisseau qui va à une vitesse v (rectiligne uniforme selon la direction x) par rapport … 0 θ R E La définition du quadrivecteur énergie-impulsion, utilisant les éléments R Δ Du fait de l'invariance du carré de l'intervalle d'espace-temps par changement de référentiel inertiel, le carré de la pseudo-norme de la quadrivitesse est aussi un invariant par changement de référentiel. ′ R w Une particule A de masse 8 (en unités arbitraires) animée d'une vitesse v/c de 15/17 dirigée vers la droite frappe une particule de masse 12 arrivant en sens inverse avec une vitesse v/c de 5/13 (les chiffres ont été choisis[21] pour que les calculs "tombent juste"). on a − 0 , appelée « carré de l'intervalle d'espace-temps », est un invariant relativiste : sa valeur ne dépend pas du référentiel inertiel dans lequel on l'évalue, les transformations de Lorentz montrant que sin 2 Les formules relativistes montrent que le temps propre le long du trajet curviligne est plus court que le temps propre le long du trajet rectiligne (ici celui qui représente le temps terrestre). c {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}>1} = = . / c v Dans l'exemple numérique choisi le facteur de dilatation du temps Il est toujours possible de décomposer le vecteur , vérifie 0 0 d c {\displaystyle \ E_{j}^{*}=\gamma _{j}^{*}.m_{j}.c^{2}=m_{j}.c^{2}+K_{j}^{*}} Dans cette expression Ce résultat constitue une preuve forte de la justesse de la relativité restreinte et notamment du phénomène d'étirement du temps propre (ici celui du muon) lorsqu'on effectue les mesures dans un référentiel extérieur (ici celui de la Terre). m +   p ∗ ⁡ c L'Académie publie la communication d'Einstein le jeudi suivant, 2 décembre, dans ses Comptes rendus[18].  : ( 2 t étant animé de la vitesse 2 E En effet, si la particule ne bouge pas (x = constante) le temps continue à s'écouler pendant la période considérée ! . On peut remarquer que si dans = E E = La relativité restreinte est la théorie élaborée par Albert Einstein en 1905 en vue de tirer toutes les conséquences physiques de la relativité galiléenne et du principe selon lequel la vitesse de la lumière dans le vide a la même valeur dans tous les référentiels galiléens (ou inertiels), ce qui était implicitement énoncé dans les équations de Maxwell (mais interprété bien différemment jusque-là, avec « l'espace absolu » de Newton et l'éther). Σ La durée d'un aller-retour dans un référentiel est égale au quotient du trajet effectué dans ce référentiel par la vitesse de la lumière, laquelle ne dépend pas du référentiel. On détecte des particules jusqu'à des énergies invraisemblables de l'ordre de 1020 électron-volts, soit cent EeV. z On détecte en astronomie des particules porteuses d'une énergie colossale : les rayons cosmiques. 2 Dans un référentiel d'inertie (par exemple le référentiel terrestre en première approximation, nommé ci-après référentiel du laboratoire) les coordonnées des évènements liés à la particule suivie sont (t, x, y, z) et les composantes dans ce référentiel du quadrivecteur énergie-impulsion du mobile sont : Comme ce quadrivecteur est proportionnel à la quadrivitesse (qui est de pseudo-norme c) par des coefficients invariants par changement de référentiel inertiels, on a, dans tout référentiel inertiel : 2 {\displaystyle \ \Delta t'=\gamma (\Delta t-v\Delta x/c^{2})} {\displaystyle T_{\mu \nu }=0} ( = r  : Pour la mesure faite dans le référentiel {\displaystyle d\mathbf {p} /d\tau } }, En rassemblant les équations écrites ci-dessus dans le cadre d'un espace-temps à quatre dimensions, le taux de variation du quadrivecteur énergie-impulsion est donné par, L'équation matricielle que nous venons d'écrire montre qu'en relativité restreinte le champ magnétique et le champ électrique constituent une entité unique. Δ 2 = 2 1   → 1 L'espace-temps de la relativité restreinte est aussi appelé espace de Minkowski. r . {\displaystyle \ Mc^{2}=E_{1}+E_{2}} v invariant par changement de référentiel, permet d'y appliquer facilement les transformations de Lorentz pour un changement de référentiel inertiel dans le cas où 1 Dans l'espace newtonien à trois dimensions, une particule de charge q placée dans un champ électrique Montrer alors que la ` → 0 et   g tanh ⋅ v tanh Δ 2 → ∗ Einstein ne reçut jamais un prix Nobel pour la relativité, ce prix n'étant, en principe, jamais accordé pour une théorie pure. Un autre exemple est celui de l'équation de Schrödinger en mécanique quantique où l'équation est linéaire par rapport à la fonction d'onde. Explication. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. c Ces transformations s'identifient aux transformations de Galilée si c2 est infini et aux transformations de Lorentz si c2 est fini positif[note 3]. et est la vitesse relative et constante entre les deux référentiels, formule que l'on retrouve directement par les transformations de Lorentz. / Loin de toute source gravitationnelle, l'espace plat est une solution de cette équation, et la métrique de Minkowski s'applique. − L'équation de champs d'Einstein est généralement écrite de la manière suivante : où Rμν est le tenseur de Ricci(Dans le cadre de la théorie de la Relativité générale, le champ de gravitation est interprété comme une déformation de l'espace-temps. M est soumise à la force de Lorentz et l'équation qui régit son mouvement est, Pour transposer cette formule en mécanique relativiste, on devra considérer le quadrivecteur énergie-impulsion 2 {\displaystyle {\mathcal {R}}} C’est la conservation locale de l’énergie en relativité restreinte ! r On peut également calculer la norme des impulsions des deux particules, et donc aussi de leurs vitesses. − − 2 1 Cela signifie que parmi un ensemble de muons produits au sommet de l'atmosphère, la moitié auront disparu au bout de 2 microsecondes, transformés en d'autres particules. + E c a 2 De même qu'en mécanique classique on définit la vitesse d'une particule en prenant la dérivée, de la position par rapport au temps, de même en mécanique relativiste on définit le vecteur vitesse à quatre dimensions (ou quadrivecteur vitesse). M − → Les vecteurs impulsions des deux particules sont tracés sur la figure ci-contre. x 0 → r 1 Einstein à Carl Seelig, 11 Mars 1952 "N'importe quel étudiant dans les rues de Göttigen en connaît plus qu'Einstein sur les géométries à 4 dimensions. c {\displaystyle \alpha =\alpha '+\theta }. Δ , la constante cosmologique, a été introduite par Einstein pour permettre des solutions statiques au modèle cosmologique issu de l'équation d'Einstein. 1 t E γ . Si les transformations spéciales simplifient l'étude analytique, elles ne nuisent en rien à la généralité. La raison en sera donnée lors de l'énoncé du principe de relativité restreinte (voir plus bas). / = {\displaystyle {\vec {p}}_{\mathrm {syst{\grave {e}}me} }={\vec {p}}_{s}=\Sigma _{\text{J}}\,{\vec {p}}_{\text{J}}\,} Voyons ce que ces chiffres impliquent pour les facteurs relativistes existant entre le référentiel propre de la particule et le référentiel terrestre. , et en supposant que quand les origines spatiales des deux référentiels étaient confondues, les horloges (fixes dans les référentiels respectifs, en O et O′) indiquaient toutes deux t = 0 et t′ = 0 (initialisation des horloges). p v {\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}\ . Les solutions de l'équation d'Einstein sont les tenseurs métriques de l'espace-temps. Supposons qu'un corps au repos, de masse M, se désintègre spontanément en deux parties de masses (masses au repos) respectives Le phénomène du « ralentissement des horloges en mouvement » ne permet pas de synchroniser des horloges en mouvement avec celles qui sont immobiles dans le référentiel de l'observateur. {\displaystyle {\mathcal {R}}} L’équation d'Einstein [1] ou équation de champ d'Einstein [2] (en anglais, Einstein field equation ou EFE), publiée par Albert Einstein, pour la première fois le 25 novembre 1915 [3], est l'équation aux dérivées partielles principale de la relativité générale.C'est une équation dynamique qui décrit comment la matière et l'énergie modifient la géométrie de l'espace-temps. −  » par la masse « m » de la particule devient un quadrivecteur impulsion. formule indiquant bien que l'énergie cinétique est conservée elle aussi (collision élastique). ′ M p z   D'ailleurs, depuis 1983, l'unité de temps (la seconde) est la seule à être définie directement par le Système international d'unités (SI), l'unité de longueur (le mètre) étant défini comme la distance que parcourt la lumière en un temps précis (ce qui revient à fixer définitivement et exactement la valeur de c à 299 792 458 m/s). {\displaystyle \alpha '=\operatorname {artanh} (0{,}75)=0{,}973\,.} →  ? c La Relativité Restreinte n’explique que les différences d’intervalles de temps concernant des échanges de signaux pendant les phases de « mouvement uniforme », et pendant ces phases il y a une parfaite symétrie entre les mesures du voyageur et de celui qui est resté sur Terre. ; C'est ce qui se passe dans les réactions de fission, de fusion et d'annihilation de particules. {\displaystyle p} {\displaystyle T_{\mu \nu }}   − Δ + → x {\displaystyle \ \Delta l^{2}} c = Δ = v ] / θ 1 2 = La définition employée est celle qui permet d'utiliser les égalités relativistes le plus simplement : le référentiel dit « du centre d'inertie » est le référentiel R* dans lequel l'impulsion totale est nulle, soit par rapport au référentiel ) Heureusement, cela n’interdit nullement qu’elle puisse être bien comprise. 0 Si la vitesse de la particule est égale à la vitesse de la lumière (c'est-à-dire si Δ − E s La vitesse relative entre les référentiels R et R*, notée Quelle est la vitesse . w Les nombres considérables que l'on obtient montrent que leur analyse exige l'emploi des formules de la relativité restreinte. 2 θ p L’équivalence de la masse et de l'énergie est donnée par la célèbre relation E=mc2. = Le temps est le même dans chacun des référentiels R et R’, ce qui n’est plus le cas en relativité restreinte où t ≠ t’. = E θ m 2 The mass of systems measured in their center of momentum frame (where total momentum is zero) is given by the total energy of the system in this frame.   Δ y = = Roland Lehoucq, astrophysicien au CEA, vous propose un cours de 2 heures sur la relativité générale et la relativité restreinte. → t G 4 », « On peut dire qu'une horloge mobile marche plus lentement qu'une horloge fixe » dans, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. The second special case is that where the relative velocity is perpendicular to the x-axis, and thus θ = π/2, and cos θ = 0, which gives: ′ = v ) On réécrira donc les formules précédentes en remplaçant les x et les t par des Δx et des Δt représentant l'écart spatial ou temporel entre le premier événement et le second. sont de « véritables » carrés, et à ce titre positifs. En effet, récemment les techniques astronomiques améliorées ont permis d'affirmer qu'une valeur non nulle de → Lorsque ce rayon cosmique heurte un atome d'oxygène ou d'azote de l'atmosphère terrestre à une altitude de l'ordre de 20 à 50 kilomètres au-dessus du sol, une gerbe de particules élémentaires se déclenche contenant en particulier des muons. [ Son éponyme est Albert Einstein (1879-1955) qui la présente, pour la première fois, le jeudi[17] 25 novembre 1915 à l'Académie royale des sciences de Prusse à Berlin. En cinématique relativiste la loi de composition des vitesses est différente : w = m est parallèle à {\displaystyle {\mathcal {R'}}} Si la montre se déplace par rapport à l'observateur, celui-ci verra le photon suivre une ligne brisée plus longue que le segment parcouru dans le référentiel précédent. 0 − 4   → 2 R 1 "Pas plus de cinq ou six semaines s'écoulèrent entre la conception de l'idée de la relativité restreinte et la rédaction de l'article correspondant." {\displaystyle \mathbf {p^{*}} =\Sigma _{\text{J}}\,\mathbf {p^{*}} _{\text{J}}={\vec {0}}} {\displaystyle \Lambda } et que la différence prend la forme d'une énergie cinétique[23]. {\displaystyle {\mathcal {R}}}   {\displaystyle (g_{\mu \nu })={\begin{bmatrix}\left(1-{\frac {2Mr}{\Sigma }}\right)&0&0&{\frac {4aMr\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\ \\0&-{\frac {\Sigma }{\Delta }}&0&0\\0&0&-\Sigma &0\\{\frac {4aMr\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}&0&0&-\left(r^{2}+a^{2}+{\frac {2a^{2}Mr\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\right)\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}\ }. γ Ceci ne pose pas de problème : chaque référentiel voit l'autre fonctionner au ralenti, et, s'il y a une mise à zéro commune des horloges des deux référentiels, chacun voit ce qui vient du passé de l'autre par rapport au temps écoulé sur sa propre horloge immobile.
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