Codes SageMath:. Ses variations étaient cependant perpendiculaires en tout point au plan tangent à la sphère terrestre puisqu'aucune variation tangentielle n'a lieu. En pratique : Quelles sources sont attendues ? Une généralisation de la relativité générale avec torsion existe, c’est la théorie d’Einstein-Cartan. On considère une géodésique paramétrée affinement par λ. λ est indépendant du temps λ, le hamiltonien se conserve le long des géodésiques. Ces avancées en rupture avec les concepts de temps et d’espace en vigueur nous conduiront à nous interroger sur les conditions de leurs émergences. 5. L'utilisation d'une particule de masse très faible dans un champ de gravitation simplifie donc beaucoupl'étude des lois du mouvement. , [1] Dans un espace-temps à quatre dimensions, il est d'usage de parler plutôt de quadri-accélération. Bonjour, je m'intéresse en ce moment à la relativité générale et à ce que ça implique sur la compréhension de la gravitation et je bloque sur un point. Les exemples les plus familiers de géodésiques sont les lignes tracées sur des surfaces en dimension 3. En physique, les géodésiques décrivent le mouvement des particules libres, qui ne sont pas soumises à une force externe (autre que la gravitation dans le cadre de la relativité générale). La géométrie des équations cinétiques. Second aspect de la relativité générale : … Dans le référentiel (pseudo-)inertiel ainsi considéré, on sait que l'on doit en effet appliquer les équations de la relativité restreinte et donc comme souvent dans le contexte relativiste, le temps propre remplace le temps des coordonnées car le premier seul reste invariant par transformation de Lorentz[2]. γ Cela généralise la notion de géodésique pour les variétés riemanniennes. Dans la relativité générale, il est supposé que le mouvement d'inertie se produit le long de géodésiques de l'espace-temps et le type de temps vide tel que configuré par le leur temps. University of Chicago, Chicago, IL, 60637. Dans l’espace courbe de la relativité générale, le plus court chemin pour aller d’un point à un autre est une géodésique. Notes de cours (format PDF). Cours 10, 6 février 2020 [Sections 4.7, 4.8] Cours 11, 11 février 2020 [Sections 5.1] C'est un repère en trois dimensions (un planisphère n'en a que deux) dans un repère euclidien. Par ailleurs, il a été démontré en 1993 que pour toute métrique sur la sphère bidimensionnelle, ce nombre est supérieur à un terme en L/log(L)[réf. où ∇ est la connexion de Levi-Civita sur M (équivalente à la dérivée covariante). La théorie de la gravitation de Newton a atteint ses limites. 3- T e n seurs. Par un point d'une surface, il existe une et une seule géodésique de tangente donnée. ) Si on change cette notion de distance, les géodésiques de l'espace peuvent prendre une allure très différente. La relativité restreinte a plusieurs conséquences surprenantes, car les concepts de temps et d’espaceabsolus sont abolis. Les géodésiques d'une sphère sont ses grands cercles. V En physique, la géodésique est une généralisation de cette application terrestre. Il ne nous reste plus qu'à remplacer μ par β dans le membre de droite de notre équation:[3]. Ainsi, si on prend un repère en coordonnées polaires, les deux vecteurs er et eθ ne sont pas constants et dépendent du point étudié. Page du cours de relativité générale Ce cours a été donné de 2005 à 2014 en 2e année du Master Recherche Astronomie et Astrophysique de l'Observatoire de Paris et des Universités Paris 6, 7 et 11 (UE FC5). Voilà donc déduite l'équation des géodésiques avec par rapport à l'équation sans champ de gravité l'apparition d'un terme en Γ, nommé connexion affine ou Symbole de Christoffel et dont on verra par la suite qu'il est de la plus haute importance en Relativité Générale[4]. Si elle suit la géodésique, elle aurait une longueur minimale et donc une énergie minimale. La métrique de Schwarzschild ... Lecture: Les tests de la relativité générale. À la fin du voyage, les passagers n'ont jamais ressenti d'accélération qui leur aurait fait changer de direction. , il existe un voisinage J de t dans I tel que pour tous Géodésique d'une surface en mathématique euclidienne. Mais comment se soustraire alors au phénomène d'accélération? Annexe D des notes de cours 2 Le théorème d'incomplétude géodésique de Penrose. Ce que je comprends, c'est que la courbure de l'espace temps induite par la présence d'un corps d'une certaine masse courbe l'espace temps. Néanmoins, si on considère le référentiel centré sur la Terre, le vecteur décrivant la vitesse de l'avion a changé de direction au cours du temps pour suivre la forme de la planète. On démontre que, sur une surface donnée, s'il existe une courbe de longueur minimale joignant deux points, cette courbe suit toujours une géodésique. Pourquoi la Lune tourne autour de la Terre ? Introduction aux équations d'Einstein. Si les applications pratiques de la relativité générale demeurent encore assez limitées, son importance conceptuelle dans la pensée contemporaine, par contre, semble à présent indiscutable. Carroll@ theory. La géométrie des trous noirs. En fait, à chaque fois qu'il y a un indice répété en haut et en bas dans une même expression, celui-ci apparaît toujours dans une somme. Les théorèmes de Penrose et Hawking montrent que hypothèses raisonnables d’un point de vue physique, et surtout robustes [Note 5], conduisent inéluctablement, dans le contexte de la Relativité Générale, à … La relativité générale, en reliant le temps à un espace « courbe », a permis de lier la notion d'orbite et celle de géodésique. Par contre, une particule matérielle suffisament petite plongéedans un champ extérieur est sans influence sur le champ de gravitation crée par d'autres masses beaucoupplus importante ainsi que sur leur mouvement propre. Une ligne géodésique est une ligne qui possède, en tout point qui n'est pas un point d'inflexion, un plan osculateur normal à la surface en ce point[3]. 7- C o s mologie Sean M. Carroll. En termes mathématiques, cela s'exprime de la manière suivante, avec γ(λ) la courbe paramétrée représentant la géodésique et en notant par, le vecteur tangent à la courbe (le vecteur vitesse si on identifie λ avec le temps dans le référentiel du voyageur) dans le référentiel correspondant aux coordonnées xμ. Le chemin le plus court entre deux points dans un espace courbe peut être obtenu en écrivant l'équation de la longueur de la courbe et en cherchant la valeur minimale pour cette valeur. En relativité générale, quand il n’y a pas de masse autour, tout (chaque point de l’espace) se déplace toujours en ligne droite avec une vitesse constante dans l’espace-temps 4D (parce que la structure de l’espace-temps est en ligne droite et pas courbé ou courbé). La géodesique désignait donc pour des géomètres le chemin le plus court … Après quelques articles d'introduction à la Relativité Générale, notre but dans cet article est de rentrer dans le vif du sujet et de décrire le mouvement d'une particule libre dans une région soumise à la gravité. 5- R elativ i té générale 6- Sol u tion d e Schwarzschild et trous noirs. Relativité restreinte et générale pour mathématiciens. La Relativité Générale est une théorie géométrique : la gravitation y est décrite comme une déformation de l’espace-temps produite par les masses. 10. Cette modification du vecteur vitesse de l'avion de façon adaptée à la géométrie dans laquelle il se déplace correspond précisément à ce qu'on entend par transport parallèle. En géométrie métrique, une géodésique est une courbe qui suit partout localement la distance minimale. , [4] Nous étudierons les symboles de Christoffel de manière beaucoup plus détaillée dans les articles suivants, mais disons déjà ici que ces symboles permettent de quantifier la variation du système de coordonnées lui-même lorsque l'on étudie la variation d'un champ de vecteurs. Une Introduction, pas trop débile, à la Relativité Générale . Le calcul de la « distance » dans cet … On observe qu'un vélo roulant sur une surface plane sans changer de direction suit une ligne droite. ... La géodésique que vous allez suivre au cours d’une chute libre … ( Une géodésique est une courbe tracée sur une surface dont la normale principale est normale à la surface[2]. L'étude du mouvement d'un corps de masse importante dans un champ de gravitation est difficile puisque cecorps crée lui-même son propre champ. C'est...). Il n'y a pas d'accélération latérale qui aurait fait dévier le point mobile de sa trajectoire. 9. Jacqueline Lelong-Ferrand et Jean-Marie Arnaudiès, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Géodésique&oldid=174970306, Article manquant de références depuis février 2016, Article manquant de références/Liste complète, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence. Dans l'un de ses articles sur la relativité générale, au bout de quelques pages seulement, Einstein fut apparemment las d'écrire le signe somme et déclara derechef que, désormais, chaque fois qu'une expression comporterait un indice répété, il fallait supposer qu'une somme s'applique sur cet indice. Les sondes Voyager ont, par exemple, suivi un itinéraire spatial courbé, comme sur l'image ci-contre, à chaque passage à proximité d'une planète. 2- Relati v ité R estreinte. 4- Co u rbure. ", Introduction à la contraction des longueurs, Introduction à la dilatation des durées et au facteur de Lorentz, Transformations de Lorentz II - Cinématique relativiste- Contraction des longeurs et dilatation des durées, Geodesic equation from the principle of least action, Décrire le mouvement dans un référentiel en chute libre, Opérer un changement de coordonnées en passant du référentiel en chute libre vers le référentiel terrestre du laboratoire, celui-ci étant alors vu comme accéléré vers le haut. Leur trajet, qui pourrait être comparé à une forme de spirale, est cependant le chemin le plus rapide. La définition de la géodésique dépendant donc du type d'« espace courbe », l'acception précédente n'y est plus vraie que localement dans le cas où cet espace dispose d'une métrique. RELATIVITE GENERALE et mécanique céleste. Les géodésiques possèdent les deux propriétés d'unicité suivantes[2]. La théorie est appelée « relativité restreinte » pour la distinguer de la théorie de la relativité générale qui viendra plus tard, la compléter en intégrant la gravitation. edu 2001 En supposant les coordonnées dans le nouveau référentiel terrestre de la forme xμ, on peut écrire: En effet, si l'on considère simplement la première coordonnée ξ0, on peut écrire ξ0 et la dérivée de ξ0 comme fonction des xμ de la façon suivante: On remarque que dans l'expression sommée, l'indice μ apparaît à la fois en haut et en bas. RELATIVITE GENERALE POUR DEBUTANTS Michel Le Bellac Cours donn e aux Rencontres non lin eaires de Peyresq Mai 2004 R esum e. Ce cours a pour objectif d’exposer a un public non initi e les id ees de base de la relativit e g en erale. Il existe d'autres manière de caractériser une géodésique. 4. Selon Galiléeet Newton un corps en l'absence de force est au repos ou se dépla… Au lieu d'avoir un obstacle matériel à contourner, il s'agit, par exemple, d'un champ de force modifiant la trajectoire. Mais une géodésique ne correspond pas toujours à un chemin de longueur minimale. V Par exemple, les géodésiques d'un cylindre de révolution sont les méridiens, les parallèles et les hélices circulaires[2]. L Or, ici, le hamiltonien est égal au Lagrangien, qui est, lui-même, égal au carré de la norme de la vitesse. La géodésique désignait donc, pour des géomètres, le chemin le plus court entre deux points de l'espace (sous entendu géographique). l'on ait : Un espace métrique est dit géodésique si deux quelconques de ses points sont toujours reliés par au moins une géodésique. A l'origine, le terme géodésique vient de géodésie (du grec gaïa " terre " et daiein " partager, diviser "), la science(La science (latin scientia, « connaissance ») est, d'après le dictionnaire Le Robert, « Ce que l'on sait pour l'avoir appris, ce...) de la mesure de la taille et de la forme de la Terre(La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse croissantes. Un repère géodésique (système géodésique) est une façon de repérer un lieu proche de la surface terrestre (par exemple par la latitude et la longitude). De sorte que, en utilisant cette convention et en supprimant le signe somme on a: En calculant la dérivée de l'expression ci-dessus (puisque l'on cherche une dérivée au second ordre par rapport à tau), on obtient d'abord en appliquant la formule de la dérivée d'un produit de fonctions et ensuite en multipliant les deux membres de l'expression par (dxβ/dξα): Nous avons introduit une nouvelle notation, le symbole de Kronecker, qui est égal à 1 si ses deux indices sont égaux et 0 dans tous les autres cas; dans notre cas, il revient à dire qu'une dérivée partielle d'une composante selon une direction par rapport à tout autre direction qu'elle-même est nulle. À l'origine, le terme géodésique vient de géodésie (du grec gaïa « terre » et daiein « partager, diviser »), la science de la mesure de la taille et d… Analyse des équations d'onde non-linéaires. En particulier, le chemin le plus court ou un des plus courts chemins, s'il en existe plusieurs, entre deux points d'un espace pourvu d'une métrique est une géodésique. Si on change cette notion de distance, les géodésiques de l'espace peuvent prendre une allure très différente. La relativité générale permet de résoudre ce problème, en supprimant le besoin d’un référentiel galiléen parfait, puisqu’une trajectoire en chute libre fait l’affaire dès qu’aucune autre force ne s’applique. , Cette relation exprime que la dérivée de la vitesse V dans le plan tangent le long de la trajectoire (dans la direction V elle-même) est nulle. Creusons un peu : T^{}_ ... Pour cela, il suffit de prendre un bout de géodésique de longueur fixée r, et de la déplacer autour d’un point pour constituer l’équivalent d’un cercle. D'après le Le Principe d'Equivalence introduit dans notre article précédent, la démarche à suivre est donc la suivante: Choisissons de nommer les coordonnées de la particule ξα  en notation indicielle, i.e l'indice α parcourt les quatres valeurs 0,1,2 et 3 avec α0 la coordonnée temporelle et les trois autres composantes désignant les coordonnées spatiales.

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