La relativité générale prévoit que ces deux ensembles d'horloges battent à des rythmes légèrement différents, en raison de leurs vitesses (effet Doppler-Fizeau déjà prédit par la relativité restreinte), et de leurs positions différentes dans le champ gravitationnel terrestre. Mais en 1907, le mathématicien Hermann Minkowski introduit une formulation de la relativité restreinte d'Einstein, dans laquelle la géométrie comprend non seulement l'espace mais aussi le temps. Dans ce cas, en effet, la quantit� est �gale � 1. Comme c est très grand, on se limite dans la vie courante à considérer que les variations de m sont négligeables, et que seules comptent celles de E. Et ceci est vrai dans toute la mécanique pré-relativiste[20]. (Il ne faut pas les confondre avec les ondes de gravité de la dynamique des fluides, qui sont un concept différent.). C'est ce principe qui permet à Einstein en 1907 de prédire quelques effets nouveaux de la gravitation, comme abordé dans la prochaine section. Un de ces effets, la partie De Sitter de l'effet géodétique a été testé avec des expériences de télémétrie Laser-Lune (mesures de haute précision de l'orbite de la Lune). Selon ces modèles, notre univers actuel a explosé d'un état extrêmement dense et chaud (le Big Bang), il y a environ 14 milliards d'années, et s'est étendu constamment depuis[48]. La fonction métrique et son taux de variation d'un point à l'autre peuvent être utilisées pour définir une quantité appelée tenseur de courbure de Riemann, qui décrit exactement comment l'espace (ou espace-temps) est courbé en chaque point. Ces trois tests expérimentaux ont justifié l'adoption de la relativité générale plutôt que la théorie de Newton, et au passage, plutôt qu'un nombre de théories proposées comme alternatives à la relativité générale. Et même, pour compléter, il faut inclure les quantités qui sont directement liées à celles-ci, c'est-à-dire la pression, la tension ou autres contraintes internes au corps. Dans un système de référence en chute libre au voisinage, ils semblent flotter en apesanteur – mais pas exactement. Dans le modèle de Newton, la gravitation est le résultat d'une force attractive entre les objets massifs. Pour un corps immobile (quantité de mouvement nulle), la masse et l'énergie sont reliées en relativité restreinte par la relation d'équivalence masse-énergie : E = mc², relation la plus connue de la relativité restreinte, tout en n'étant pas forcément la mieux interprétée. Pour une fonction scalaire on peut en effet �crire : �tant l�ar�te du cube sur lequel est calcul�e la valeur moyenne. Mais en 1974, cette perte d'énergie a été observée dans un pulsar binaire (PSR 1913+16). Cependant, tous ces méridiens partis parallèles se rejoignent aux pôles (voir figure à droite). Il faut souligner qu'aucun des deux observateurs ne peut observer de changement dans l'écoulement du temps autour de lui, ou pour des objets qui sont près de lui, ou qui se déplacent lentement par rapport à lui : le temps nécessaire pour cuire un œuf à la coque est toujours de trois minutes. Soit un espace de dimension n dans laquelle a �t� d�finie une base de vecteurs . Par exemple, quand les ondes radio passent à proximité de l'autre étoile, ils doivent être défléchis par son champ gravitationnel. G Au-delà des problèmes posés par les effets quantiques et les singularités cosmologiques, la recherche en relativité générale est remplie de possibilités d'explorations supplémentaires : les mathématiciens de la relativité explorent la nature des singularités et la nature exacte des équations d'Einstein[54], et des simulations d'espace-temps spécifiques sont effectuées sur ordinateur (comme celles de trous noirs tombant l'un sur l'autre)[55], et les avancées permises par l'observation directe d'ondes gravitationnelles se poursuivent[56]. La constante G N est la constante de gravitation introduite par Newton[23], c est la vitesse de la lumière, et π est la constante géométrique classique (rapport de la circonférence au diamètre d'un cercle). On dit que l'univers est globalement homogène et isotrope. Luc Blanchet est un spécialiste reconnu de la théorie de la relativité générale.Il a été chargé de recherches au Département d’Astrophysique Relativiste et de Cosmologie (DARC) à l’Observatoire de Meudon, et est depuis 2008 Directeur de Recherche de 1ère classe au Groupe de Gravitation et Cosmologie (GReCO) à l’Institut d’Astrophysique de Paris Dans un tel système d'étoiles, deux étoiles très compactes (étoiles à neutrons) tournent autour d'un centre commun. 2.La Relativité Générale >> Livre l'ouvrage d'Albert Einstein (anglais) La Relativité Restreinte. Certains types de trous noirs sont estimés être le point final de l'évolution d'étoiles particulièrement massives. Pour les surfaces, la généralisation de la géométrie du plan – une surface plate – à la géométrie de surfaces courbées avait été décrite au début du XIXe siècle par Carl Friedrich Gauss. Essentiellement, ce principe énonce qu'une personne située dans une cabine, et qui ne ressent pas de pesanteur, ne peut pas détecter si la cabine est en chute libre ou s'il est suffisamment loin dans le cosmos pour échapper à l'influence de toute source de gravitation[3]. le mouvement de particules-test (assez légères pour n'avoir aucune influence gravitationnelle) dans un espace-temps courbé ; les propriétés de la matière qui servent de source à la gravitation, et qui peuvent donc influencer la courbure de l'espace-temps ; finalement les relations d'Einstein qui relient ces propriétés de la matière à la courbure de l'espace-temps. Dans la théorie d'Einstein, et ses parentes, la courbure en chaque point de l'espace-temps est régie par la présence de matière. Les équations de géodésique - Les mathématiques de la relativité générale se réfèrent à différentes structures et techniques mathématiques utilisées par la théorie de la relativité générale d'Albert Einstein. En particulier, elle ne répond pas à la simple question : qu'est-ce qui empêche les habitants des antipodes de tomber de la Terre ? La relativité générale est une théorie de la gravitation qui a été développée par Albert Einstein entre 1907 et 1915. Le temps est le même dans chacun des référentiels R et R’, ce qui n’est plus le cas en relativité restreinte où t ≠ t’. De la relativité restreinte à la relativité générale, Recherche actuelle : la relativité générale et au-delà. La Relativité Restreinte est … Ainsi, la relativité générale explique l'expérience quotidienne de la gravitation à la surface de la Terre non pas comme l'attraction par une force gravitationnelle, mais comme une force fictive d'inertie analogue à celles évoquées. Les plus utiles sont ceux dont les deux composants sont des pulsars, parce qu'ils donnent les tests les plus précis de la relativité générale[38]. Seule la théorie d'Einstein se montra compatible avec les expériences et les observations. Une surface sphérique comme celle de la Terre donne un exemple simple. On aboutit � cette formule en recherchant la d�riv�e covariante des vecteurs unitaires de la base : par d�finition ils sont transport�s parall�lement � eux-m�mes. De plus, il existe des théorèmes sur les singularités de Stephen Hawking et de Roger Penrose, qui expriment la nécessité de ce type de singularité dans un univers soumis aux lois de la relativité générale, en l'absence de toute modification quantique. Quand ce terme est présent, l'espace vide agit comme une source de gravitation attractive, ou répulsive, selon le signe qu'on lui donne. L'intuition fondamentale d'Einstein a été de trouver une raison profonde pour que ces deux énoncés concernant des phénomènes apparemment bien différents fassent intervenir la même masse. Soit un tenseur d�ordre 2 : Il en va de m�me pour les vecteurs : voir l��quation (a-4) plus haut. c'est-à-dire qu'à une constante multiplicative près, la quantité G (qui décrit certains aspects de la courbure de l'espace-temps) est égale à la quantité T (qui décrit certains aspects du contenu en matière). (« inertiels ») qu'Einstein a décrits – en l'absence de toute gravitation – dans sa théorie de la relativité restreinte : des observateurs pour lesquels la lumière parcourt des lignes droites à vitesse constante[2]. L'équation d'Einstein s'écrit alors : G Elle est not�e , �tant l�indice du vecteur unitaire dans l�axe duquel on effectue cette d�rivation. En fait, si l'on part de la théorie complète, les équations d'Einstein permettent de trouver comment ces lois du mouvement de la matière dépendent de la géométrie ; mais il est assez difficile d'en déduire le mouvement des particules test, cf. Z d3x0. Le 14 septembre 2015, les chercheurs du LIGO annoncent avoir détecté directement des ondes gravitationnelles ; cette annonce est confirmée officiellement le 11 février 2016[39],[40], et le résultat est publié le jour même dans la revue Physical Review Letters[41]. Consid�rons une courbe d�finie par ses coordonn�es . Ce n’est pourtant pas le cas, et des travaux bien antérieurs l’ont précédée. Cependant, certaines théories adoptées jusqu'alors n'étaient pas cohérentes avec ces concepts : un exemple majeur était la théorie de la gravitation de Newton, qui décrit l'attraction mutuelle entre deux corps due à leurs masses. Comme les différences entre les prédictions des théories d'Einstein et de Newton sont les plus marquées quand la gravitation est forte, les physiciens se sont intéressés depuis longtemps aux tests de divers effets relativistes dans des environnements où règne une forte gravitation. Les tenseurs prennent des formes diff�rentes selon qu�ils sont associ�s � la forme covariante ou � la forme contravariante des vecteurs consid�r�s. Contrairement aux coordonnées cartésiennes sur le plan, des différences de coordonnées ne correspondent pas simplement à des distances sur la surface, comme le montre le diagramme de droite : pour quelqu'un situé à l'équateur, se déplacer de 30° de longitude ouest (ligne rose foncé) correspond à 3 333 km, tandis que pour quelqu'un situé à 49° nord (en gros la latitude de Paris), se déplacer de 30° de longitude sur un parallèle (ligne bleue), à latitude constante, ne correspond qu'à 2 187 km. Quand la masse est concentrée dans une région de l'espace suffisamment compacte[44], la relativité générale prédit la formation d'un trou noir – une région de l'espace dont l'attraction gravitationnelle est si forte que même la lumière ne peut s'en échapper. La formule permettant de d�terminer la d�riv�e covariante fait intervenir les symboles de Christoffel . A chacune de ces étapes, j’exposerai les structures mathématiques que l’on associe à cet espace-temps en essayant d’expliquer pourquoi nous avons été obligé π Comme il a déjà été dit à la section précédente, le contenu en matière de l'espace-temps définit une autre quantité, le tenseur d'énergie-impulsion, T. Le principe selon lequel l'espace-temps régit le mouvement de la matière et la matière régit la courbure de l'espace implique que ces quantités doivent être liées entre elle. Une autre raison découle de ce qui est connu comme le théorème de calvitie, qui énonce qu'un trou noir ne dépend que de trois choses : sa masse, sa charge électrique et sa rotation, et non d'autres paramètres individuels divers. Pour y arriver, on a besoin d'une théorie qui décrit comment la matière (comme une grosse masse comme la Terre) affecte l'environnement inertiel autour d'elle. Ces singularités sont des lignes ou des surfaces dans l'espace-temps où la géométrie perd sa signification, avec la conséquence que la relativité générale y perd son pouvoir de prédiction. Elle sera décalée vers le bleu[6]. ... Friedmann dès 1922 formule deux solutions correctes d'univers ( sans constante cosmologique) en expansion soit infinie soit cyclique. De la même manière, pour une surface, l'absence ou la présence de courbure détermine si la surface est équivalente à un plan. terpr etation int eressan te. Elle fait intervenir la m�trique (voir plus bas) : En comparant (a-2) et (a-3) on comprend mieux la n�cessit� d�introduire les notions de forme covariante et de forme contravariante d�un vecteur. Cependant aucune de ces théories n'est logiquement cohérente ni complète. Ici aussi, la masse est une propriété-clé pour déterminer cette influence de la matière sur la géométrie de l'espace-temps, et par là sur la gravitation. En effet, la distribution de matière peut faire apparaître l'objet lointain en plusieurs directions, avec éventuellement des intensités différentes. À la limite, l'objet peut apparaître sous la forme d'un arc de cercle (anneau d'Einstein). Un ensemble d'autres tests ont mis à l'épreuve la validité de diverses versions du principe d'équivalence ; à strictement parler, toutes les mesures de la dilatation du temps gravitationnelle sont des tests de sa version faible, et non pas de la relativité générale elle-même. Cependant, il faut noter qu'il ne s'agit plus ici de la masse globale d'un corps mais de la répartition locale des quantités physiques dont on a besoin, sous une forme analogue à celle de densités. Ces observateurs sont tous des observateurs privilégiés Sur ces trois tests, un seul — la précession du périhélie de Mercure — était connu avant la publication finale par Einstein de la relativité générale en 1916[30]. Exactement comme dans cette théorie, l'espace et le temps sont deux aspects différents d'un espace plus large, l'espace-temps, l'énergie et le moment sont deux aspects différents d'une quantité unifiée plus vaste, que les physiciens appellent le quadri-moment. Une manifestation plus élémentaire du même effet implique deux corps tombant l'un à côté de l'autre vers la Terre. Ce problème tourmentait les physiciens depuis quelque temps déjà. Une structure aussi simple de l'univers peut être donnée par une solution simple des équations d'Einstein. Il est �gal � 1 si les indices sont identiques et il est nul s�ils sont diff�rents. On peut �crire : Le th�or�me d�Euler-Lagrange permet de trouver ais�ment la trajectoire qui minimise la quantit� L. Elle est telle que : Si l�on choisit tel que cette equation se simplifie et on parvient apr�s quelques d�veloppements suppl�mentaires � l��quation des g�od�siques (voir plus bas) : Tenseur de Riemann, tenseur de Ricci et courbure scalaire. Trois tests expérimentaux ont été proposés par Einstein lui-même, et sont maintenant connus sous le nom de tests historiques de la théorie. Einstein a donc abandonné cette proposition. Ces systèmes reposent sur l'utilisation de deux ensembles d'horloges atomiques, des horloges sur des satellites en orbite terrestre, et des horloges de référence situées à la surface de la Terre. De même que le faisceau tournant d'un phare est vu de loin comme un clignotant, ces faisceaux frappent la Terre avec une extrême régularité pour un pulsar isolé, et sont reçus comme une succession d'impulsions très régulières. L'équivalence entre inertie et gravitation ne peut expliquer les effets de marée – elle ne peut pas expliquer les variations de champ gravitationnel[10]. On a détecté indirectement l'existence des ondes gravitationnelles en observant certaines étoiles binaires. Par exemple, si la lumière d'un objet très éloigné, et suffisamment brillant, comme un quasar, passe à côté d'une galaxie massive, elle est défléchie vers un observateur sur la Terre, et simultanément, elle peut passer de l'autre côté de la même galaxie, et être défléchie en sens inverse, atteignant ainsi l'observateur d'une direction légèrement différente. En développant ses idées sur les conséquences du principe déquivalence, Einstein aboutit à une nouvelle vision de la gravitation qui devait remplacer celle dIsaac Newton : la relativité générale. la théorie de la relativité prend ses racines dans la physique du ième siècle. Cela est rendu possible parce que, finalement, il s'agit de la même chose exprimée de manières différentes : des … Supposons que sur ce vaisseau, il y ait deux observateurs placés l'un plus haut que l'autre. La formule qui donne les composants du tenseur de Riemann est relativement complexe, nous la mentionnerons sans chercher � la d�montrer : Le tenseur de Ricci s�obtient par abaissement d�indice du tenseur de Riemann : Sur le plan math�matique, le tenseur de Ricci est le laplacien du tenseur m�trique. 8 La matière tombant sur un objet compact est l'un des mécanismes les plus efficaces pour émettre de l'énergie sous forme de rayonnement électromagnétique, et la matière tombant sur des trous noirs passe pour l'un des phénomènes astronomiques les plus brillants. N D'autres solutions décrivent des ondes gravitationnelles ou, pour la métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker, un univers homogène, en expansion ou en contraction. Le principe de correspondance consiste alors à considérer que là où il y a une égalité du type . En explorant l'équivalence entre gravitation et accélération, y compris le rôle des effets de marée, Einstein a découvert plusieurs analogies avec la géométrie des surfaces. Des exemples notables, de grand intérêt pour les astronomes, sont les quasars et d'autres types de noyaux de galaxies actives. Ces objets peuvent donc être considérés comme des particules test, et ils ont le même comportement par rapport à la gravitation. Ceci est illustré par la figure de gauche, qui montre une onde lumineuse progressivement décalée vers le rouge en remontant le champ de gravitation[7]. Ecrivons la formule qui exprime la norme d�un vecteur. Sur ce vaisseau, il y a naturellement une conception de « haut » et de « bas » : le haut est la direction vers laquelle le vaisseau accélère, et le bas la direction opposée. Après avoir réussi à écrire ces relations, que l'on connaît depuis sous le nom d'équations d'Einstein ou, plus précisément, ses équations du champ de gravitation, il présente sa nouvelle théorie de la gravitation au cours de plusieurs séances de l'Académie des sciences de Prusse à la fin de l'année 1915[14]. En l'absence de gravitation, et bien sûr d'autres forces, une particule test se déplace en ligne droite à vitesse constante. Roland Lehoucq, astrophysicien au CEA, vous propose un cours de 2 heures sur la relativité générale et la relativité restreinte. Dix ans après avoir formulé la relativité restreinte, Einstein revient sur le devant de la scène avec la théorie de la relativité générale. Les ondes gravitationnelles sont une conséquence directe de la théorie d'Einstein. La relativité générale a de grands succès en donnant un cadre pour des modèles précis décrivant un ensemble impressionnant de phénomènes physiques. Deux référentiels inertiels sont liés l'un à l'autre par des rotations et translations des trois axes d'espace, alors que pour la dimension temporelle, la transformation se fait simplement par une constante additive, c'est à dire un simple changement d'origi… Bien sûr, la solution la plus simple est l'espace de Minkowski, sans courbure, décrit par la relativité restreinte. La d�riv�e simple et la d�riv�e covariante sont souvent not�es de la mani�re suivante : La pr�sence d�une virgule est la marque d�une d�riv�e simple, celle d�un point-virgule d�une d�riv�e covariante. En cinématique classique, le déplacement total x dans le référentiel R est la somme du déplacement relatif x’ dans le référentiel R’ et du déplacement d'entraînement vt du référentiel R’ par rapport à R à la vitesse v : x = x’+vt ou x’=x-vt. Cette relation est linéaire lorsque la vitesse v est constante, c'est-à-dire lorsque les référentiels R et R' sont galiléens. Dans le cas d'un pulsar double, la relativité générale prédit des déviations caractéristiques du rythme de ces impulsions. 1 : En math�matiques, le laplacien d�une fonction mesure l��cart entre la valeur de cette fonction en un point et sa valeur moyenne au voisinage du point. La proximité des deux membres du couple fait qu'il émet une quantité substantielle d'ondes gravitationnelles, et que celles-ci peuvent notamment être repérées dans cette dernière analyse. 1916 : Einstein formule la relativité générale (théorie classique) qui présente la gra-vitation comme une courbure de l'espace temps. Ce sont des ondes de distorsion de la géométrie de l'espace, qui se propagent dans le vide à la vitesse de la lumière. En présence de gravitation, l'espace-temps est courbé, c'est-à-dire qu'il n'est plus un espace de Minkowski, qui est un analogue à 4 dimensions du plan d'Euclide, mais c'est un espace plus général, décrit par un analogue de la géométrie de Riemann. Cependant il reste un certain nombre de questions ouvertes : la plus fondamentale est de trouver à concilier la relativité générale avec les lois de la physique quantique, et de formuler une théorie complète et cohérente de la gravitation quantique. Ce décalage de fréquence correspond à une dilatation du temps gravitationnelle : comme l'observateur du haut constate que la même lumière vibre plus lentement, c'est que son horloge tourne plus vite. La relativité générale est devenue un outil essentiel de l'astrophysique moderne. La relativité restreinte introduit un nouveau cadre de pensée pour toute la physique, en proposant des concepts radicalement nouveaux sur l'espace et le temps. jx x0j T (x0;t 1 c jx x0j) : (9.21) A grandes distances du syst eme, r= jxj˛jx0j;on aura jx x0j1ˇr1et t1 c. Cours de Relativité Générale ... axes x, y autour de l’origine, on aurait des coordonnées x' et y' avec pour la distance la même formule : (1.2) Nous en concluons que la distance entre deux points est invariante vis-à-vis de tels changement de coordonnées. Si l�on change de base les composants de la m�trique sont modifi�s. Une géodésique est le plus court chemin entre deux points à la surface de la Terre. Cependant, des expériences et des observations montrent que la description par Einstein rend compte de quelques effets inexpliqués par la loi de Newton, telles que des anomalies minimes sur l'orbite de Mercure, et d'autres planètes. x = u avec u = (1;1;0;0) On a dx =d = u , u2= 0 et du =d = 0 : est un param etre a ne. Les sommations qui interviennent sont faites sur i et j qui jouent un r�le sym�trique. Ainsi, les expériences d'un observateur en chute libre sont indiscernables de celles d'un observateur éloigné dans l'espace cosmique, loin de toute source mesurable de gravitation. Notons au passage que : si les vecteurs sont les vecteurs unitaires de la base de l�espace . Supposons que l�on passe d�une base dans laquelle les coordonn�es sont repr�sent�es par les symboles � une base dans laquelle les coordonn�es sont repr�sent�es par les symboles . Il suffit de modifier en cons�quence les formules et les conclusions des calculs effectu�s... La notion de distance �l�mentaire d�coule directement de celle de m�trique : La longueur totale d�une courbe peut s�en d�duire facilement. La recherche des g�od�siques revient � trouver la trajectoire qui minimise la fonctionnelle d�finie par : Le th�or�me d�Euler-Lagrange permet de r�soudre ce probl�me. Par comparaison avec les planètes et autres objets astronomiques, les objets de la vie quotidienne (gens, voitures, maisons, et même montagnes) ont une masse petite. La relation linéaire la plus générale possible, … Soit un vecteur de cet espace. Les trajectoires de corps en mouvement sont des lignes dans l'espace-temps, appelées lignes d'univers ; les trajectoires de corps se déplaçant à vitesse constante sans changer de direction y correspondent à des lignes droites[12]. Le passage d�une forme � une autre s�appelle une �l�vation ou un abaissement d�indice. Les principaux outils utilisés dans cette théorie géométrique de la gravitation sont les champs tensoriels définis sur une variété pseudo-riemannienne représentant l'espace-temps. Or dans un espace courbe, le transport parallèle d'un vecteur le long d'une geodésique ne ramène pas le vecteur dans sa position initiale. Ce sont toutes ces données qui servent à régir le comportement de l'espace-temps en fonction de la matière. Mais en fait l'itinéraire le plus court (arc de grand cercle) joignant les extrémités de cet arc de parallèle ne fait que 2 172 km, car un parallèle n'est pas une géodésique. Cependant, pendant que la matière environnante tombe sur le trou noir, celui-ci se débarrasse de toutes ses autres propriétés géométriques (il "perd ses cheveux") en rayonnant des ondes gravitationnelles[47]. Plus de 100 ans après la publication de la théorie, la recherche est toujours plus active[57]. Évidemment, ces chemins ne sont pas droits, puisque ce sont des arcs de cercle tracés sur la sphère. D'autres tentatives pour modifier la relativité générale ont été faites dans le cadre de la cosmologie. Cette force s'appelle le poids. Soit la fonction s d�finie comme suit : �tant la d�riv�e de par rapport au param�tre . L’occasion de revenir sur une équation qui a changé le monde. Dans une petite région comme une cabine, cette accélération est minuscule, tandis que pour des personnes tombant en chute libre en des points opposés de la Terre, l'effet est très grand. la relativitÉ pour les nuls. Les simples coordonnées ne sont donc pas suffisantes pour décrire la géométrie d'une surface sphérique, ou a fortiori la géométrie d'un espace ou espace-temps plus compliqué. Ce type de convergence est bien connu quand il fait intervenir la déviation par une lentille optique, et par suite l'effet gravitationnel est appelé lentille gravitationnelle[36]. Elle relie un équivalent du potentiel gravitationnel, à un équivalent de la masse grave. Pour les objets matériels assez massifs pour que leur propre influence gravitationnelle ne puisse pas être négligée, les lois du mouvement sont quelque peu plus compliquées que pour les particules test, bien qu'il reste vrai que c'est la géométrie de l'espace qui régit le mouvement de la matière[19]. Dans les bonnes conditions, la matière qui tombe en s'accumulant sur un trou noir peut conduire à la formation de jets relativistes, où des faisceaux focalisés de matière sont lancés dans l'espace avec une telle énergie qu'ils atteignent des vitesses proches de celle de la lumière[46]. La solution retard ee de (9.20) s’ ecrit alors sous la forme classique h (x;t) = 4G c4. C'est le fondement de la compréhension actuelle des trous noirs, qui sont des régions où l'attraction gravitationnelle devient tellement intense que la lumière elle-même ne peut s'en échapper, sa vitesse étant inférieure à la vitesse de libération.